공대생 공부노트
최대전단응력설(Tresca theory) 본문
해당 글은 인터넷에 돌아다니는 자료나 제가 공부한 내용을 기반으로 작성된 것입니다. 물론, 최대한 정확한 내용만을 올리도록 노력하겠지만 무조건적으로 받아들이지 않으시길 바랍니다. 그래서 구체적인 지적은 언제나 환영입니다. 감사합니다.
최대전단응력설(MSST : Maximum Shear Stres Theory)는 고체역학과 재료역학 그리고 기계요소설계에서 물성실험까지 다양한 과목에서 등장하는 중요한 파손이론이다. 그리고 인장항복강도와 압축항복강도가 같은 연성(ductile)재료에 적용하는 이론이다.
최대 전단응력이 인장항복강도의 1/2에 도달하면 파손되는 이론인데 그래프로 그려보면 육각형이 나온다. 그래서 오늘은 이 육각형이 어떻게 나온 건지 그려보면서 최대전단응력설에 대해 알아볼 예정이다. (참고로 이번 내용은 Mohr's circle에 대해 알고 있다는 전제 하에 진행합니다.)
우선, 1축 인장강도 또는 압축강도에서 Mohr's circle을 보면 전단응력이 최대가 되는 값은 인장강도의 1/2임을 알 수 있다. 왜냐하면 x축 방향의 σ값을 제외하곤 모든 방향의 σ값은 0이기 때문이다. 이는 아래 Mohr's circle을 보면 더욱 잘 보인다. 따라서, 오늘 최대전단응력설은 그 이름에 맞게 이 '전단응력의 최댓값'을 기준으로 모든 것을 구한다.
그럼 1차원에서 구한 특정한 재료의 최대전단응력값을 알았다면 3차원에 적용하면 경우의 수는 아래와 같이 나눌 수 있다.
그리고 각각의 경우에 대한 최대전단응력을 구해보면 아래와 같아진다.
그다음 σ1 , σ2로 좌표계를 그리면 위의 식들이 모두 y-x 그래프가 된다. (물론 그래프에 그리기 전에 위에 있는 식들을 정리하는 것도 나쁘지 않다.)
위 식을 가지고 그래프를 그려보면 우리가 원하는 최대전단응력설의 수정 모양의 육각형이 그려진다.
* Cover image by Vortarus Technologies LLC
* 참고자료
: 기계설계 이론과 실제 제8판 p.103
: 컴퓨터원용 고체역학 Mechanics of SOLIDS p.534, p.577