Legendre recurrence relation (1)

 

$$\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left[x(x^{2}-1)^{n}\right]=x\frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{2}-1)^{n}+n\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^{2}-1)^{n}$$

 

우리에게 알맞게 정리해주면

 

$$x\frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{2}-1)^{n}={\color{blue}{\frac{d^{n}}{dx^{n}}x(x^{2}-1)^{n}-n\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^{2}-1)^{n}}}$$

 

우리가 전개하던 식에 대입해주면

 

$$\frac{(n+1)}{2^{n}(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^{2}-1)^{n}-\frac{1}{2^{n}(n-1)!}\left(\frac{d^{n}}{dx^{n}}x(x^{2}-1)^{n}-n\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^{2}-1)^{n}\right)$$

 

식이 복잡하므로 3개의 항(term)으로 나눠 살펴보도록 한다.

첫 번째 항과 세 번째 항이 비슷한 꼴을 가졌으므로 묶을 수 있다.

 

$$\frac{(2n+1)}{2^{n}(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^{2}-1)^{n}-\frac{1}{2^{n}(n-1)!}\frac{d^{n}}{dx^{n}}x(x^{2}-1)^{n}$$

 

항이 2개인 식이 되었는데 두 번째 항의 꼴을 첫 번째 항과 합칠 수 있도록 바꿔준다.

 

$$\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\left(\frac{d}{dx}x(x^{2}-1)^{n}\right)$$

$$\frac{d}{dx}x(x^{2}-1)^{n}$$

$$=(x^{2}-1)^{n}+x\cdot n(2x)(x^{2}-1)^{n-1}$$

$$=(x^{2}-1)^{n}+\frac{2nx^{2}}{x^{2}-1}(x^{2}-1)^{n}$$

$$=\frac{(x^{2}-1)+2nx^{2}}{x^{2}-1}(x^{2}-1)^{n}$$

$$=(x^{2}-1)^{n}+\frac{2nx^{2}}{x^{2}-1}(x^{2}-1)^{n}$$

 

$$\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\left[(x^{2}-1)^{n}+\frac{2nx^{2}}{x^{2}-1}(x^{2}-1)^{n}\right]$$

 

그리고 이렇게 계산한 식을 원래 식에 넣어주면 아래와 같아진다.

 

$$\frac{(2n+1)}{2^{n}(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^{2}-1)^{n}-\frac{1}{2^{n}(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^{2}-1)^{n}-\frac{2n}{2^{n}(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\left[x^{2}(x^{2}-1)^{n-1}\right]$$

$$=\frac{2n}{2^{n}(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^{2}-1)^{n}-\frac{2n}{2^{n}(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\left[x^{2}(x^{2}-1)^{n-1}\right]$$

 

정리를 마저 해주면 된다.

 

$$=\frac{2n}{2^{n}(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\left[(x^{2}-1)^{n}-x^{2}(x^{2}-1)^{n-1}\right]$$

 

그리고 Rodrigues formula에 맞게 식을 다시 한 번 정리해준다.

 

$$=-\frac{n}{2^{\color{blue}{n-1}}(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\left[(x^{n}-1)^{n-1}\right]$$

 

위 식의 내부항은 아래와 같이 계산된 것이다.

 

$$(x^{2}-1)^{n}-x^{2}(x^{2}-1)^{n-1}$$

$$(x^{2}-1)(x^{n}-1)^{n-1}-x^{2}(x^{2}-1)^{n-1}$$

$$(x^{2}-1-x^{2})(x^{n}-1)^{n-1}$$

$$-(x^{n}-1)^{n-1}$$

 

결과적으로 보면 Rodrigues formula와 동일해진다.

 

$$=-nP_{n-1}(x)$$

 

이 식이 어디에 사용되는지는 다음 글에서 다룰 예정이다.

이것만으로도 식이 너무 복잡하기 때문이다.

 

Reference

Mathematics Stack Exchange, Proving Bonnet's Recursion with Rodrigues' Formula